軌道速度計算

軌道速度とは、中心天体の周りで安定した円軌道を維持するために物体が保たなければならない速さです。遅すぎれば重力によって内側へ引き込まれ、速すぎればより高い軌道へ移行するか、完全に脱出してしまいます。この概念は、人工衛星技術・宇宙ステーションの設計・惑星科学・天体力学の根幹にあります。国際宇宙ステーションからGPS衛星群に至るまで、地球を周回するすべての人工衛星は、このひとつのシンプルな公式によって決まる速度で運動しています。

軌道速度の公式

円軌道では、重力が物体を曲線軌道上に保つための向心加速度をちょうど提供します。この二つの力を等しいとおくと v = √(GM / r) が導かれます。ここで G は万有引力定数（6.674 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²）、M は中心天体の質量、r は天体中心から周回物体までの距離です。

軌道速度は中心天体の質量と軌道半径のみに依存し、周回する物体の質量には依存しません。同じ高度にある1個の原子と宇宙ステーションは同じ速度で周回します。高度が上がると r が大きくなるため v は減少し、高い軌道ほど低い軌道よりもゆっくりと周回することになります。

軌道速度と脱出速度の関係

任意の半径における脱出速度は、同じ半径での円軌道速度のちょうど√2倍です。脱出速度は v_esc = √(2GM / r)、軌道速度は v_orb = √(GM / r) であるため、v_esc / v_orb = √2 ≈ 1.414 という関係がどの天体でも成り立ちます。

すでに円軌道上にある宇宙船が脱出軌道に入るには、現在の軌道速度の約41.4%の速度増加が必要です。地球の低軌道（高度400 km）の場合、軌道速度は約7.66 km/sなので、大気抵抗を無視すれば約3.17 km/sの増速で地球の重力を完全に振り切ることができます。

軌道周期とケプラーの第三法則

軌道周期 T──1周するのに要する時間──は速度と軌道の円周から直接求められます。T = 2πr / v = 2π√(r³ / GM) です。これはケプラーの第三法則の一形態であり、同じ中心天体を周回するすべての軌道において T² が r³ に比例することを示しています。

地球の場合、低軌道（高度約400 km）の人工衛星は約92分で1周します。月は平均距離384,400 kmを約27.3日で周回します。GPS衛星は高度約20,200 kmで周期約12時間の軌道上にあります。

高度と軌道半径

v = √(GM / r) において r = R_body + h（hは地表からの高度）であるため、高度が上がると軌道速度は低下します。この関係は線形ではなく、軌道半径を2倍にすると速度は1/2ではなく1/√2倍に減少します。

静止軌道──地球の赤道上空35,786 km──では軌道周期が地球の自転周期（24時間）と等しくなり、衛星は地表の固定地点の上空に静止しているように見えます。静止軌道での軌道速度は約3.07 km/sで、高度400 kmでの約7.66 km/sと比べるとかなり遅くなります。

太陽系における軌道速度

この公式はあらゆる中心天体に適用でき、質量に応じてスケーリングされます。地表すれすれの軌道速度──大気を無視して地表のすぐ上を周回するのに必要な速度──は天体によって大きく異なります。地球の地表軌道速度は約7.91 km/s、月はわずか約1.68 km/sです。火星は地球の約11%の質量、約53%の半径を持ち、地表軌道速度は約3.55 km/sです。

木星は巨大な質量により地表軌道速度が約42.1 km/sに達します。太陽の地表軌道速度は437 km/sを超えます。水星の太陽周回軌道速度は平均約47.4 km/sで、全惑星中最速であり、これは軌道半径が最も小さいことと一致しています。

現実の軌道における考慮事項

実際の人工衛星の軌道が完全な円であることはまれです。楕円軌道にはビスビバ方程式 v² = GM(2/r − 1/a) が適用されます（a は軌道長半径）。円軌道では r = a となり、この方程式は v = √(GM / r) に帰着します。

大気抵抗・月の重力・太陽輻射圧・地球の不均一な重力場に対する軌道維持には、定期的な小規模噴射が必要です。国際宇宙ステーションは大気抵抗によって徐々に高度が低下するため、年に数回リブースト（軌道上昇）を行っています。この計算ツールのすべての計算は真空中の二体円軌道を仮定しており、参考値としてご利用ください。