三角関数計算
sin、cos、tan および逆三角関数を即座に計算します。角度を度またはラジアンで入力すると、6つの三角関数の値とその関係が確認できます。
三角関数完全ガイド：sin・cos・tan の仕組みと実践的な活用法
三角関数は、三角形の辺と角の関係を扱う数学の一分野です。その名称はギリシャ語の「三角形（trigonon）」と「計測（metron）」に由来します。古代の天文学者が天体を測定した時代から、現代のエンジニアが橋を設計し、ソフトウェアが3Dグラフィクスをレンダリングする時代まで、三角関数は最も実践的かつ広く応用される数学の一領域です。日本の高校数学でも必修テーマであり、大学入試においても頻出の分野です。
6つの三角関数
6つの三角関数——サイン（sin）、コサイン（cos）、タンジェント（tan）、コセカント（csc）、セカント（sec）、コタンジェント（cot）——は、直角三角形の辺の比として定義されます。角度θに対して、sin θ は対辺を斜辺で割った値、cos θ は隣辺を斜辺で割った値、tan θ は対辺を隣辺で割った値です。
逆数関数はそれぞれ直接導かれます：コセカントは 1/sin θ、セカントは 1/cos θ、コタンジェントは 1/tan θ です。主要な3関数が最もよく使われますが、逆数関数は微積分・物理・工学の文脈でしばしば登場します。
これらの定義は単位円（原点を中心とした半径1の円）を通じて直角三角形を超えて拡張されます。単位円上では、角度θ（正のx軸から反時計回りに測定）が点（cos θ, sin θ）に対応します。この定義により、三角関数は0°から90°の間だけでなく、あらゆる実数を入力として受け付けることができます。
度とラジアン
角度は度またはラジアンで表すことができます。1回転は360度または2πラジアンです。変換式は単純で、度にπ/180を掛けるとラジアンになり、ラジアンに180/πを掛けると度になります。主な角度の対応：30° = π/6 rad、45° = π/4 rad、60° = π/3 rad、90° = π/2 rad、180° = π rad。
ラジアンは微積分や高等数学における自然な単位です。例えば、sin(x) の導関数が cos(x) になるのは x がラジアンで表されている場合のみです。物理学や工学ではラジアンがほぼ普遍的に使用されます。日本の高校では度が中心ですが、大学以降の数学・物理ではラジアンが標準となります。
基本的な三角恒等式
三角恒等式とは、変数のすべての有効な値に対して成立する等式です。最も基本的なものはピタゴラスの恒等式：sin²θ + cos²θ = 1 です。これは単位円にピタゴラスの定理を適用することで直接導かれます。関連する恒等式として 1 + tan²θ = sec²θ と 1 + cot²θ = csc²θ があります。
加法定理も重要です：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B、cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B。これらから倍角公式が導かれます：sin(2θ) = 2 sin θ cos θ、cos(2θ) = cos²θ − sin²θ。これらの恒等式は積分の計算や式の簡略化において微積分で不可欠です。
逆三角関数
逆三角関数——arcsin、arccos、arctan（sin⁻¹、cos⁻¹、tan⁻¹ とも表記）——は、与えられた三角関数の値に対応する角度を返します。例えば arcsin(0.5) = 30° となります（sin(30°) = 0.5 のため）。三角形の辺の長さがわかっている場合に未知の角度を求める際に不可欠な関数です。
三角関数は周期的であるため、逆関数は単一の出力を保証するために定義域が制限されています。arcsin の値域は −90°〜90°（−π/2〜π/2）、arccos の値域は 0°〜180°（0〜π）、arctan の値域は −90°〜90°（−π/2〜π/2）です。多くのプログラミング言語で使用できる atan2(y, x) 関数は arctan の2引数バリアントで、4つの象限すべてを正しく処理します。
実世界への応用
三角関数は幅広い実践的応用の基盤となっています。建築・建設では、屋根の勾配・構造荷重・斜めカットの寸法計算に使われます。航法では正弦・余弦法則を用いて船や飛行機の方位と距離を計算します。測量では、すべての地点を物理的に踏破することなく土地の境界や標高を求めることができます。日本の伝統数学・和算においても、江戸時代から類似の計算が神社の絵馬（算額）に記されるほど発展していました。
物理学では、波——音、光、水波——は正弦関数と余弦関数を使って自然に記述されます。振り子やばねの単純調和運動はサイン曲線のパターンに従います。電気工学では、交流（AC）電圧と電流が正弦波であるため、三角関数は回路解析の基本となります。
コンピュータグラフィクスは回転行列・透視投影・アニメーションのために三角関数に大きく依存しています。ゲーム開発者は atan2 を使ってオブジェクトの向きを計算し、サイン曲線を使って滑らかで自然な動きを生成します。信号処理、GPS測位、医療画像（CTスキャンはラドン変換を使用）、機械学習（フーリエ変換、トランスフォーマーの位置エンコーディング）はすべて三角関数の基盤の上に構築されています。
よくある質問
sin、cos、tan の違いは何ですか？
直角三角形において、サイン（sin）は対辺を斜辺で割った値、コサイン（cos）は隣辺を斜辺で割った値、タンジェント（tan）は対辺を隣辺で割った値です。英語の覚え方として「SOH-CAH-TOA」がよく知られています：Sine = Opposite/Hypotenuse、Cosine = Adjacent/Hypotenuse、Tangent = Opposite/Adjacent。
度とラジアンはどう使い分けますか？
日常の幾何学・航法・一般的なコミュニケーションでは度を使います。微積分・物理学・プログラミングでは、公式が簡略化されるためラジアンを使います——例えば、sin(x) の微分が cos(x) になるのは x がラジアンの場合のみです。ほとんどの関数電卓やプログラミング言語では、モードを切り替えることができます。
三角関数のピタゴラスの恒等式とは何ですか？
ピタゴラスの恒等式は、任意の角度θに対して sin²θ + cos²θ = 1 が成立するというものです。これは単位円にピタゴラスの定理を適用することで直接導かれます。この恒等式は他の多くの三角恒等式の基礎であり、代数や微積分における式の簡略化に頻繁に使用されます。
逆三角関数（arcsin・arccos・arctan）とは何ですか？
逆三角関数は、三角関数の値から元の角度を求める関数です。例えば arcsin(0.5) = 30° となります（sin(30°) = 0.5 のため）。辺の長さがわかっているときに角度を計算する場面でよく使われます。出力の値域はそれぞれ制限されており、arcsin と arctan は −90°〜90°、arccos は 0°〜180° です。
三角関数はどのような分野で使われますか？
三角関数は非常に幅広い分野で活用されています。建築・測量・航法では距離や角度の計算に、物理学では波動・振動・交流回路の解析に使われます。コンピュータグラフィクスや3Dゲームでは回転・投影計算に不可欠で、音楽のデジタル処理（フーリエ変換）や医療画像（CTスキャン）にも応用されています。スマートフォンのGPS測位や建築設計ソフトウェアの内部でも三角関数が活躍しています。