複素数計算
a + bi 形式の複素数で四則演算を実行します。加算・減算・乗算・除算に加え、絶対値（モジュラス）と偏角（アーギュメント）も求められます。
複素数：四則演算・絶対値・偏角と数学・工学への応用
複素数は虚数単位 i（i² = -1）を導入することで実数を拡張した数学の基本概念です。すべての複素数は z = a + bi の形で表され、a が実部、b が虚部です。この計算ツールでは複素数の四則演算に加え、絶対値（モジュラス）と偏角（アーギュメント）を求めることができます。
複素数とは
複素数の必要性は多項式方程式を解く過程で自然に生じます。方程式 x² + 1 = 0 には実数解がありませんが、複素数の解 x = i と x = -i を持ちます。より一般的に、代数学の基本定理により、複素係数の非定数多項式は少なくとも1つの複素数の根を持つことが保証されます。この性質（代数的閉体）は実数にはないものです。
複素数 z = a + bi は複素平面（アルガン平面）上の点 (a, b) として視覚化できます。横軸が実部、縦軸が虚部を表します。この幾何学的な解釈は代数と幾何をつなぎ、乗算が平面上での回転と拡大縮小に対応することの理解に不可欠です。
複素数は16世紀にイタリアの数学者が三次方程式を解く過程で初めて登場しました。カルダノやボンベリが負の数の平方根を含む式を扱いましたが、当時は架空のものと見なされていました。18〜19世紀のオイラー、ガウスらの研究を経て、複素数は完全な数学的正当性を獲得しました。
複素数の四則演算
加算と減算は各成分ごとに行います：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。これは複素平面上のベクトルの加減算に対応します。
乗算は分配法則と i² = -1 のルールを用います：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。幾何学的には、2つの複素数の乗算は絶対値の積と偏角の和になります。つまり絶対値1の複素数による乗算は純粋な回転です。
除算は逆数との乗算として定義されます。(a + bi) / (c + di) を計算するには、分子と分母に分母の共役 (c - di) を掛けます：((ac + bd) + (bc - ad)i) / (c² + d²)。分母がゼロ（c = d = 0）の場合、除算は未定義です。
絶対値と偏角
複素数 z = a + bi の絶対値（モジュラス）は |z| = √(a² + b²) です。複素平面上の原点から点 (a, b) までの距離を表します。絶対値は三角不等式 |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| と乗法的性質 |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂| を満たします。
複素数 z = a + bi の偏角は、正の実軸から原点と z を結ぶ線分までの角度 θ = atan2(b, a)（ラジアン）です。主値は区間 (-π, π] にあります。絶対値 r と偏角 θ を使うと、任意の複素数は極座標形式 z = r(cosθ + i·sinθ) = r·e^(iθ) で表せます（後者はオイラーの公式）。
極座標形式は乗算と累乗に特に有用です。極座標形式の2つの複素数の積は r₁r₂ · e^(i(θ₁+θ₂))、累乗は r^n · e^(inθ) となります。ド・モアブルの定理 (cosθ + i·sinθ)^n = cos(nθ) + i·sin(nθ) はこの表現から直接導かれます。
複素数の応用
複素数は電気工学で不可欠であり、交流回路はインピーダンス（複素量）を用いて解析されます。電圧と電流は複素フェーザーとして表され、回路解析は複素数の演算に帰着します。実部が抵抗成分、虚部がリアクタンス（容量性または誘導性）成分を表します。
信号処理では、フーリエ変換が信号を複素指数関数 e^(iωt) に分解し、周波数解析を可能にします。離散フーリエ変換（DFT）とその効率的実装である高速フーリエ変換（FFT）は、複素数の演算と1の冪根（単位円上に等間隔に並ぶ複素数）に依存しています。
量子力学では、量子系の状態は複素数値の波動関数で記述されます。粒子が特定の位置に見つかる確率は波動関数の絶対値の二乗に比例します。複素数は量子論において単なる数学的便宜ではなく、その構造の根幹をなすものです。
複素解析（複素変数関数論）は、等角写像を通じて流体力学、熱伝導、静電気学の問題を解くためのツールを提供します。留数定理と周回積分により、実数の方法では計算が困難または不可能な実積分を評価できます。
複素共役
z = a + bi の複素共役は z̄ = a - bi であり、実軸に関する z の鏡像です。複素数とその共役の積は常に非負の実数となります：z · z̄ = a² + b² = |z|²。この性質は複素数の除算で分母を有理化する際に使われます。
共役は加算と乗算を保存します。すなわち、和の共役は共役の和、積の共役は共役の積です。これらの性質により、共役は重要な代数的演算となっています。実数係数の多項式方程式では、複素数の根は常に共役のペアで現れます。
よくある質問
虚数単位 i とは何ですか？
虚数単位 i は i² = -1 という性質で定義されます。実数ではありませんが、複素数体系の基礎を形成します。すべての複素数は a + bi の形で表せます（a, b は実数）。
2つの複素数はどのように掛け算しますか？
分配法則と i² = -1 を使います：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i。幾何学的には、絶対値が掛け算され、偏角が足し算されます。
複素数の絶対値とは？
z = a + bi の絶対値（モジュラス）は |z| = √(a² + b²) です。複素平面上の原点から点 (a, b) までの距離を表します。
複素数の偏角とは？
偏角は、複素平面上で正の実軸から原点と z を結ぶ線分までの角度 θ（ラジアン）です。z = a + bi に対して θ = atan2(b, a) で計算され、主値は (-π, π] の範囲にあります。
複素数で割り算はできますか？
はい、除数がゼロでなければ可能です。(a + bi) を (c + di) で割るには、分子と分母に共役 (c - di) を掛けます。結果は ((ac + bd) + (bc - ad)i) / (c² + d²) になります。